Ecuaciones de primer grado: ejercicios y problemas resueltos

Qué estás buscando al resolver una ecuación

Una ecuación afirma que dos expresiones tienen el mismo valor. Resolverla consiste en encontrar los valores de la incógnita que hacen verdadera esa igualdad. En 2x + 3 = 11, x = 4 funciona porque 2·4 + 3 = 11.

Una ecuación de primer grado, una vez simplificada, tiene la forma ax + b = 0 con a distinto de cero. No debe confundirse con una inecuación, que describe una desigualdad y suele tener un conjunto de soluciones. Aquí buscaremos un valor y comprobaremos la igualdad.

Mantener el equilibrio en cada paso

Puedes sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por una misma cantidad, siempre que no dividas por cero. En 2x + 3 = 11, resta tres en ambos lados y obtiene 2x = 8. Luego divide ambos miembros por dos: x = 4.

La frase “pasa al otro lado cambiando de signo” resume una operación, pero puede ocultar errores. Escribe qué haces en ambos miembros cuando todavía estás aprendiendo. Así distinguirás una suma de una multiplicación y no cambiarás signos sin justificación.

Ejemplo con paréntesis

Resuelve 3(x − 2) + 4 = 19. Aplica la propiedad distributiva: 3x − 6 + 4 = 19. Combina términos constantes y queda 3x − 2 = 19. Suma dos en ambos lados, obtiene 3x = 21 y divide por tres: x = 7.

La comprobación usa la expresión inicial: 3(7 − 2) + 4 = 15 + 4 = 19. Distribuir el tres solo sobre x habría cambiado la ecuación. Cuando aparece un signo menos delante de un paréntesis, también debe afectar a cada término.

Ejemplo con fracciones

Considera (x + 2)/3 = x/2 − 2/3. Multiplica todos los términos de ambos miembros por seis, un múltiplo común de los denominadores. Obtiene 2(x + 2) = 3x − 4. Desarrolla: 2x + 4 = 3x − 4. Resta 2x y suma cuatro: x = 8.

Comprueba: (8 + 2)/3 = 10/3 y 8/2 − 2/3 = 4 − 2/3 = 10/3. El método elimina denominadores porque multiplica la ecuación completa. No basta con multiplicar un solo término o borrar los denominadores.

Modelar un problema cotidiano

Una actividad cobra $1.500 de inscripción y $800 por cada sesión. Si una persona paga $6.300, ¿cuántas sesiones contrató? Define x como número de sesiones. El modelo es 1500 + 800x = 6300. Resta 1500, divide 4800 por 800 y obtiene x = 6.

La respuesta debe incluir su significado: seis sesiones. Verifica que 1500 + 800·6 = 6300 y que el valor sea compatible con el contexto. Si el resultado fuera una cantidad fraccionaria de sesiones y solo se permitieran sesiones completas, habría que revisar los datos o la interpretación.

Practica y reconoce casos especiales

• 5x − 7 = 18: suma siete y divide por cinco; x = 5.
• 4 − 2x = 10: resta cuatro y divide por menos dos; x = −3.
• 2(x + 1) = 2x + 2: se reduce a 2 = 2 y es verdadera para todo x real.

¿Toda ecuación tiene una única solución? No. Si simplifica a una identidad, tiene infinitas soluciones; si queda una contradicción, como 2 = 5, no tiene solución. ¿Cómo reviso el resultado? Sustituye en la ecuación original, antes de cualquier transformación.

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Referencia curricular: temario oficial DEMRE M1, Admisión 2027. Los ejercicios de esta guía son originales.