Función cuadrática: vértice, raíces y ejercicios resueltos

Reconocer una función cuadrática

Una función cuadrática tiene la forma f(x) = ax² + bx + c, con a distinto de cero. Su gráfica es una parábola. Si a es positivo, se abre hacia arriba; si es negativo, hacia abajo. El valor de c permite leer directamente la intersección con el eje vertical: f(0) = c.

No basta con observar una curva cualquiera para identificar una cuadrática. Revisa la expresión, una tabla o los datos que entrega el problema. Una recta corresponde a otra familia de funciones, aunque también pueda describir variaciones de una cantidad.

Calcular el vértice y el eje de simetría

La coordenada horizontal del vértice es xᵥ = −b/(2a). Sustituye ese valor en la función para encontrar yᵥ. El eje de simetría es la recta x = xᵥ. Cuando la parábola se abre hacia arriba, el vértice es un mínimo; cuando se abre hacia abajo, es un máximo.

Ejemplo: f(x) = x² − 4x + 3. Aquí a = 1 y b = −4, por lo que xᵥ = 4/2 = 2. Luego f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. El vértice es (2, −1) y el eje de simetría es x = 2.

Encontrar las raíces o ceros

Las raíces son los valores donde f(x) = 0. En el ejemplo, x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Por eso las raíces son x = 1 y x = 3. La gráfica corta el eje horizontal en (1, 0) y (3, 0).

Si no puedes factorizar fácilmente, usa la fórmula x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a). El discriminante Δ = b² − 4ac indica cuántas raíces reales hay: dos distintas si es positivo, una raíz doble si es cero y ninguna raíz real si es negativo.

Construir una tabla y comprobar simetría

Para f(x) = x² − 4x + 3, los valores en x = 0, 1, 2, 3 y 4 son 3, 0, −1, 0 y 3. Los puntos a la misma distancia de x = 2 tienen la misma altura. Esto permite verificar tanto la tabla como la posición del vértice.

Al dibujar, ubica las intersecciones y el vértice antes de trazar la curva. La parábola no está formada por segmentos rectos entre puntos. Etiqueta los ejes y confirma que la apertura concuerde con el signo de a.

Un problema de área máxima

Un rectángulo tiene perímetro de cuarenta metros. Si uno de sus lados mide x, el otro mide 20 − x. Su área es A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x, con 0 < x < 20. La parábola se abre hacia abajo.

El vértice ocurre en x = −20/[2(−1)] = 10. El otro lado también mide diez metros y el área máxima es cien metros cuadrados. Una longitud de cinco metros produce 5·15 = 75 m², menor que el máximo. Interpretar el dominio evita aceptar longitudes negativas o lados nulos.

Práctica y preguntas frecuentes

• En g(x) = 2x², el vértice es (0, 0) y hay una raíz doble en cero.
• En h(x) = x² + 1, el mínimo es uno y no existen raíces reales.
• En p(x) = −x² + 4, el vértice es (0, 4) y las raíces son −2 y 2.

¿El vértice siempre está en el eje vertical? No, depende de b. ¿Toda parábola corta el eje horizontal? No. Compara el discriminante y el valor del máximo o mínimo para verificarlo.

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Referencia curricular: temario oficial DEMRE M1, Admisión 2027. Los ejercicios de esta guía son originales.