Función lineal y afín: diferencias, gráficos y ejercicios

La diferencia entre función lineal y afín

En la convención escolar habitual, una función lineal tiene forma f(x) = mx y su gráfica pasa por el origen. Una función afín se escribe f(x) = mx + b. El parámetro m es la pendiente y b indica la intersección con el eje vertical. Si b = 0, la función afín también es lineal.

Algunos materiales usan “lineal” para ambas formas. Para resolver un ejercicio, observa la fórmula y las condiciones del enunciado. Lo decisivo es reconocer si existe un valor inicial distinto de cero y cómo cambia la salida cuando cambia la entrada.

Interpretar pendiente e intercepto

En f(x) = 4x + 3, la salida aumenta cuatro unidades cuando x aumenta una unidad. Además, f(0) = 3. La pendiente es positiva, por lo que la gráfica crece de izquierda a derecha. Si m fuera negativo, disminuiría; si fuera cero, sería horizontal.

La pendiente tiene unidades cuando el problema es contextualizado. En un costo expresado en pesos por kilómetro, no representa solo un número: indica cuánto cambia el cobro por cada kilómetro adicional. El término inicial puede corresponder a un cargo fijo.

Construir una tabla y un gráfico

Para f(x) = 4x + 3, calcula f(−1) = −1, f(0) = 3, f(1) = 7 y f(2) = 11. Ubica los pares ordenados (−1, −1), (0, 3), (1, 7) y (2, 11) en el plano. Todos deben quedar sobre la misma recta.

Etiqueta los ejes y usa una escala uniforme. Que una línea parezca más inclinada en un dibujo no basta para comparar pendientes si las escalas son diferentes. Comprueba la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal.

Encontrar una función desde dos puntos

Una recta no vertical pasa por (1, 5) y (3, 11). Su pendiente es m = (11 − 5)/(3 − 1) = 6/2 = 3. Sustituye un punto en y = 3x + b: 5 = 3·1 + b, de donde b = 2. La función es f(x) = 3x + 2.

Comprueba el segundo punto: f(3) = 11. Si los puntos tienen el mismo valor de x y distintos valores de y, definen una recta vertical; esa recta no puede describirse como una función de la forma y = mx + b.

Un problema con cargo fijo

Un servicio cobra $2.000 de cargo inicial y $600 por kilómetro. El costo es C(d) = 600d + 2000, con d ≥ 0. Para cinco kilómetros, C(5) = $5.000. Si el cobro fue de $6.800, plantea 600d + 2000 = 6800 y obtiene d = 8 kilómetros.

El modelo es afín porque el costo inicial no es cero. Si se eliminara el cargo fijo, C(d) = 600d sería una relación proporcional directa. Revisa siempre el dominio: una distancia negativa carece de sentido en este contexto aunque la fórmula permita calcularla.

Ejercicios y preguntas frecuentes

• En g(x) = −2x + 8, la pendiente es −2 y g(0) = 8.
• La intersección con el eje horizontal de g ocurre cuando −2x + 8 = 0: x = 4.
• Si h(x) = 5x, entonces h(3) = 15 y su gráfica pasa por (0, 0).

¿Basta un punto para encontrar la función? No, salvo que conozcas otro dato, como la pendiente. ¿Una función afín siempre crece? No. Su comportamiento depende del signo de m, no del signo de b.

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Referencia curricular: temario oficial DEMRE M1, Admisión 2027. Los ejercicios de esta guía son originales.