Raíces: simplificación y ejercicios resueltos para la PAES M1

Qué significa calcular una raíz

La raíz cuadrada principal de un número no negativo es el valor no negativo cuyo cuadrado produce ese número. Por eso √36 = 6. Aunque (−6)² también es 36, el símbolo √36 representa seis. En cambio, la ecuación x² = 36 tiene dos soluciones: x = 6 y x = −6.

Una raíz cúbica puede tener radicando negativo: ∛(−27) = −3 porque (−3)³ = −27. En los números reales, una raíz de índice par no admite radicandos negativos. Comprueba el índice antes de aplicar una regla.

Simplificar buscando factores

Para simplificar una raíz cuadrada, busca un factor que sea cuadrado perfecto. En √50, escribe 50 = 25·2. Entonces √50 = √25·√2 = 5√2. Para √72, usa 72 = 36·2 y obtiene 6√2. Las dos expresiones resultantes son exactas; no requieren aproximar √2.

En una raíz cúbica, busca cubos perfectos. Como 54 = 27·2, se cumple ∛54 = 3∛2. No extraigas factores como si todos los índices fueran dos. El factor que sale debe corresponder a la potencia indicada por el índice.

Cuándo puedes sumar radicales

Solo se combinan directamente radicales con el mismo índice y radicando. Por ejemplo, 3√5 + 2√5 = 5√5. Los coeficientes indican cuántas veces aparece una misma cantidad, igual que en una suma de términos semejantes.

Ejemplo: √50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2. Primero simplifica y luego suma. En cambio, √2 + √3 no se transforma en √5. La propiedad del producto no se puede trasladar a una suma.

Multiplicar y dividir raíces

Para raíces cuadradas de números no negativos, √a·√b = √(ab). Así, √3·√12 = √36 = 6. También puedes simplificar √12 = 2√3 y obtener 2·3 = 6. Resolver de dos maneras permite detectar errores.

En un cociente, el denominador debe ser positivo para esta propiedad: √a/√b = √(a/b), con a ≥ 0 y b > 0. Por ejemplo, √18/√2 = √9 = 3. Mantén la condición de denominador no nulo incluso cuando la expresión final sea un número entero.

Un problema de área y una precaución con variables

Un terreno cuadrado tiene área de 45 m². Su lado mide √45 = 3√5 metros. El perímetro es 4·3√5 = 12√5 metros. El área y el perímetro usan unidades diferentes: metros cuadrados para superficie y metros para longitud.

Con variables reales, √(x²) = |x|. Si x = −4, la raíz principal de x² es cuatro, no menos cuatro. Cuando un problema informa que x es una longitud positiva, puedes usar |x| = x, pero esa información debe venir del contexto.

Ejercicios breves y errores frecuentes

• √98 = 7√2, porque 98 = 49·2.
• √27 − √12 = 3√3 − 2√3 = √3.
• ∛125 = 5 y ∛(−125) = −5.

¿Debo usar decimales? Conserva la respuesta exacta si no se pide una aproximación. ¿Puedo distribuir una raíz sobre una suma? No como regla general. Por ejemplo, √(9 + 16) = 5, mientras que √9 + √16 = 7. Este contraejemplo basta para rechazar esa transformación.

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Referencia curricular: temario oficial DEMRE M1, Admisión 2027. Los ejercicios de esta guía son originales.