Semejanza de figuras: razón, escalas y ejercicios resueltos

Qué significa que dos figuras sean semejantes

Dos figuras semejantes tienen la misma forma: sus ángulos correspondientes son iguales y sus longitudes correspondientes guardan una proporción constante. Pueden tener tamaños distintos. Si además sus longitudes coinciden, la razón de semejanza es uno y las figuras son congruentes.

Antes de dividir medidas, identifica qué lado corresponde a cuál. La posición en el dibujo puede cambiar por una rotación o una reflexión. Usa los ángulos, los nombres de vértices y las relaciones indicadas, en lugar de asumir que “el lado de abajo” siempre corresponde al mismo lado.

Cómo calcular la razón de semejanza

Define k como longitud de la figura final dividida por la longitud correspondiente de la figura inicial. Si un lado pasa de seis a nueve centímetros, k = 9/6 = 1,5. Las longitudes restantes deben multiplicarse por 1,5.

Ejemplo: un triángulo tiene lados de 4, 6 y 8 centímetros. Una figura semejante con razón 1,5 tendrá lados de 6, 9 y 12 centímetros. Comprueba las tres razones: 6/4 = 9/6 = 12/8 = 1,5. Una sola coincidencia de lados no demuestra semejanza.

Criterios para reconocer triángulos semejantes

En triángulos, dos ángulos correspondientes iguales permiten reconocer semejanza, porque el tercero también coincide. Otro criterio exige los tres pares de lados proporcionales. También sirve conocer dos pares de lados proporcionales y la igualdad del ángulo comprendido entre esos lados.

No confundas ese último criterio con cualquier ángulo del triángulo. La palabra “comprendido” identifica el ángulo situado entre los dos lados usados. Si un ejercicio entrega un dibujo sin medidas ni marcas, la apariencia visual por sí sola no justifica una conclusión.

Por qué las áreas cambian con el cuadrado

Los perímetros se multiplican por k porque son sumas de longitudes. Las áreas se multiplican por k². Un rectángulo de 4 por 6 centímetros tiene área 24 cm². Al aplicar k = 1,5, sus lados pasan a 6 y 9 centímetros y su área es 54 cm².

Comprueba: 54/24 = 2,25 = 1,5². Su perímetro pasa de veinte a treinta centímetros, una razón de 1,5. Duplicar las longitudes cuadruplica el área. Esta diferencia es fundamental cuando el problema pregunta por pintura, superficie o cantidad de material.

Resolver un problema de escala

Un plano tiene escala 1:200. Eso significa que una unidad de longitud en el plano representa doscientas unidades iguales en la realidad. Una habitación de 3,5 centímetros en el dibujo mide 3,5·200 = 700 centímetros, es decir, siete metros.

Si otra dimensión del plano mide dos centímetros, representa cuatro metros. La habitación rectangular tiene área real de 7·4 = 28 m². No multipliques un área del plano simplemente por doscientos: el factor de área sería 200², manteniendo unidades compatibles antes de convertir.

Práctica y comprobación

• Una longitud de ocho centímetros se reduce con k = 0,75: resulta seis centímetros.
• Un perímetro de veinte centímetros se amplía con k = 3: resulta sesenta centímetros.
• Un área de diez centímetros cuadrados se amplía con k = 3: resulta noventa centímetros cuadrados.

¿La razón puede ser menor que uno? Sí, indica una reducción según el orden elegido. ¿Cambiar el orden de las figuras cambia k? Sí. Si amplías con razón dos, al volver a la figura inicial la razón es un medio. Escribe qué figura estás tomando como referencia.

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Referencia curricular: temario oficial DEMRE M1, Admisión 2027. Los ejercicios de esta guía son originales.