Tabla de potencias y propiedades con ejercicios resueltos

Qué representa una potencia

Una potencia aⁿ con exponente entero positivo representa n factores iguales a a. En 3⁴, la base es 3 y el exponente es 4: 3·3·3·3 = 81. No significa 3·4. Identificar base y exponente es el primer paso para elegir la propiedad correcta.

La siguiente tabla sirve para reconocer valores frecuentes y comprobar cálculos. Aprenderla puede ahorrar tiempo, pero entender las propiedades permite resolver expresiones que no aparecen en ella.

Tabla de potencias de 2, 3 y 5

En esta tabla, el punto separa miles: 3.125 equivale a tres mil ciento veinticinco. Para construir otra fila, multiplica cada resultado por su base. Por ejemplo, después de 2⁶ = 64 viene 2⁷ = 128.

Propiedades de las potencias

• Producto de igual base: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
• Cociente de igual base: aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, con a distinto de 0.
• Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• Potencia de un producto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
• Potencia de un cociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, con b distinto de 0.

Estas reglas se usan aquí con exponentes enteros y expresiones definidas. Con exponentes racionales y raíces hay que revisar adicionalmente el dominio real. No traslades una propiedad sin comprobar sus condiciones.

Exponente cero, negativo y base negativa

Exponente cero

Para a distinto de cero, a⁰ = 1. Por ejemplo, 7⁰ = 1. La expresión 0⁰ no se considera definida en este tratamiento elemental y no se obtiene aplicando esta regla.

Exponente negativo

Para a distinto de cero, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Así, 2⁻³ = 1/8. El signo negativo del exponente indica un recíproco; no vuelve negativo el resultado.

Paréntesis y signos

(−3)² = 9, porque el signo pertenece a la base. En cambio, −3² = −9: primero se calcula 3² y luego se aplica el signo exterior. Con una base negativa, los exponentes enteros pares dan resultados positivos y los impares dan resultados negativos.

Ejercicios de potencias resueltos

1. Combinar producto y cociente

Calcula 2³·2⁴/2². Como la base es la misma, suma los exponentes del producto y resta el del divisor: 2³⁺⁴⁻² = 2⁵ = 32.

2. Potencia de potencia

Calcula (3²)³. Los exponentes se multiplican: 3^2·3 = 3⁶ = 729. Para evitar confusión, el exponente final es 2·3 = 6, no 2 + 3.

3. Base racional

Calcula (2/3)⁻². Invierte la fracción y eleva al cuadrado: (3/2)² = 9/4. La base es distinta de cero, por lo que el exponente negativo está permitido.

4. Crecimiento por etapas

Una colección comienza con 5 elementos y triplica su cantidad en cada etapa. Después de cuatro etapas tiene 5·3⁴ = 5·81 = 405 elementos. El 5 inicial es un factor, no forma parte de la base 3.

Errores que conviene detectar

No combines bases diferentes mediante la regla del producto de igual base: 2³·3² no es 6⁵. Tampoco distribuyas un cuadrado sobre una suma: (2 + 3)² = 25, mientras que 2² + 3² = 13. Para desarrollar binomios necesitas las identidades algebraicas correspondientes.

Práctica breve

1. 5⁴/5².
2. (−2)⁵.
3. 4⁻¹.
4. (2³)²/2⁴.

Al corregir, indica la propiedad usada y sus condiciones. Reconocer una estructura, explicar el procedimiento y revisar la magnitud del resultado es más útil que memorizar valores aislados.

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Referencia oficial y material de práctica

La selección de contenidos se vincula con el temario oficial de Matemática M1 del DEMRE para la Admisión 2027. La presencia de un contenido en el temario no asegura que aparezca en una aplicación concreta. Los ejemplos y ejercicios de esta guía son originales de práctica y no constituyen preguntas oficiales del DEMRE.