Diagrama de árbol: ejemplos y probabilidad paso a paso

Qué es un diagrama de árbol

Un diagrama de árbol representa un proceso que ocurre por etapas. Desde un punto inicial salen ramas para los resultados de la primera etapa; desde cada resultado salen las opciones de la siguiente. Cada recorrido completo describe una secuencia posible.

En probabilidad, las ramas también muestran la probabilidad de cada paso. Las probabilidades que salen de un mismo punto deben sumar 1 cuando se han incluido todas sus opciones. Esta comprobación permite detectar ramas omitidas o valores incorrectos.

Cómo construirlo paso a paso

1. Define las etapas y qué resultado quieres estudiar.
2. Dibuja todas las opciones de la primera etapa.
3. Desde cada opción, añade las posibilidades de la siguiente.
4. Escribe en cada rama la probabilidad correspondiente a ese momento.
5. Marca las trayectorias que cumplen el evento pedido.

No escribas automáticamente las mismas probabilidades en todos los niveles. Si una extracción cambia lo que queda disponible, debes actualizar tanto los casos favorables como el total. El árbol sirve precisamente para hacer visible esa dependencia.

Ejemplo: dos lanzamientos de una moneda

Supongamos una moneda equilibrada y lanzamientos independientes. En cada lanzamiento, cara y sello tienen probabilidad 1/2. Las cuatro trayectorias son cara-cara, cara-sello, sello-cara y sello-sello.

Inicio
├─ Cara (1/2)
│  ├─ Cara (1/2): cara-cara
│  └─ Sello (1/2): cara-sello
└─ Sello (1/2)
   ├─ Cara (1/2): sello-cara
   └─ Sello (1/2): sello-sello

Multiplica dentro de una trayectoria

La probabilidad de cara-cara es (1/2)·(1/2) = 1/4. Se multiplican los pasos del mismo recorrido. En general, la segunda probabilidad se interpreta teniendo en cuenta lo ocurrido en la primera etapa.

Suma trayectorias distintas

Para obtener exactamente una cara, sirven cara-sello y sello-cara. Como son resultados incompatibles, sumamos 1/4 + 1/4 = 1/2. No sumamos las ramas de un mismo recorrido: la suma corresponde aquí a caminos completos alternativos.

Ejemplo de extracción con reposición

Una bolsa contiene 3 fichas rojas y 2 azules, todas igualmente probables al extraer. Sacas una ficha, la devuelves y mezclas antes de sacar otra. En ambas etapas, P(roja) = 3/5 y P(azul) = 2/5.

La trayectoria roja-roja tiene probabilidad (3/5)·(3/5) = 9/25. Obtener colores distintos reúne roja-azul y azul-roja: (3/5)·(2/5) + (2/5)·(3/5) = 12/25. La reposición mantiene la composición original de la bolsa.

Ejemplo sin reposición

Ahora usa la misma bolsa, pero no devuelvas la primera ficha. Si primero sale roja, quedan 2 rojas y 2 azules entre 4 fichas. Si primero sale azul, quedan 3 rojas y 1 azul. Las ramas del segundo nivel tienen valores diferentes.

Las cuatro probabilidades suman 1. Obtener colores distintos tiene probabilidad 3/10 + 3/10 = 3/5. El resultado cambia respecto del caso con reposición porque cambia el proceso, aunque la bolsa inicial sea la misma.

Practica con un árbol propio

Una bolsa tiene 4 fichas verdes y 1 amarilla. Extraes dos sin reposición. Dibuja el árbol y calcula: a) dos verdes; b) una de cada color; c) dos amarillas.

Cómo revisar un diagrama de árbol

• Comprueba que el orden de las etapas coincide con el enunciado.
• Revisa reposición, independencia y composición de la bolsa.
• Comprueba que cada grupo de ramas suma 1.
• Distingue «exactamente una» de «al menos una».
• Evita contar dos veces una trayectoria favorable.

Si te piden al menos una ficha de un color, también puedes calcular 1 menos la probabilidad de ninguna. El árbol sigue siendo útil para identificar con claridad ese evento complementario.

Continúa practicando

Relaciona este contenido con nuestra guía de Ejercicios de probabilidad resueltos para la PAES M1 y revisa cómo cambian las tareas y los procedimientos.

Para organizar tu preparación, consulta el temario de Matemática M1 y la guía de ensayos DEMRE de M1 y M2.

Referencia oficial y material de práctica

La selección de contenidos se vincula con el temario oficial de Matemática M1 del DEMRE para la Admisión 2027. La presencia de un contenido en el temario no asegura que aparezca en una aplicación concreta. Los ejemplos y ejercicios de esta guía son originales de práctica y no constituyen preguntas oficiales del DEMRE.