Ejercicios de probabilidad resueltos para la PAES M1

Cómo empezar un ejercicio de probabilidad

Antes de calcular, identifica el experimento, sus resultados posibles y el evento pedido. La regla «casos favorables dividido por casos posibles» se aplica cuando los resultados elementales son igualmente probables. Si no lo son, debes usar sus probabilidades individuales.

En esta guía trabajaremos con dados equilibrados, selecciones uniformes y monedas equilibradas. Todos los ejercicios son originales. El objetivo es explicar por qué corresponde sumar, multiplicar o usar un complemento, además de obtener la fracción final.

1. Probabilidad de un evento simple

Lanzas un dado equilibrado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4? El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los resultados favorables son {5, 6}.

Hay 2 resultados favorables entre 6 igualmente probables: P = 2/6 = 1/3. La expresión «mayor que 4» excluye el 4. Si dijera «mayor o igual que 4», incluiría {4, 5, 6} y la probabilidad sería 1/2.

2. Evento complementario

Se elige al azar una tarjeta entre 20 tarjetas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea múltiplo de 5? Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15 y 20: cuatro tarjetas.

La probabilidad del evento contrario es 4/20 = 1/5. Por complemento, la respuesta es 1 − 1/5 = 4/5. También puedes contar las 16 tarjetas restantes y obtener 16/20. Ambos métodos describen el mismo conjunto.

3. Regla aditiva con eventos incompatibles

Una caja tiene 5 lápices rojos, 3 azules y 2 verdes. Se escoge uno al azar, con igual probabilidad para cada lápiz. ¿Cuál es la probabilidad de que sea rojo o azul?

Un mismo lápiz no puede pertenecer a ambos colores del enunciado. Los eventos son incompatibles, por lo que sumamos: 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5. El total usado en ambos términos es 10, porque se realiza una sola selección.

4. Regla aditiva cuando hay coincidencias

Se elige al azar un número del 1 al 10. Calcula la probabilidad de que sea par o múltiplo de 3. Los pares son {2, 4, 6, 8, 10}; los múltiplos de 3 son {3, 6, 9}. El 6 aparece en ambos grupos.

Para no contarlo dos veces, usa P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B). Así obtienes 5/10 + 3/10 − 1/10 = 7/10. Enumerar la unión {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} confirma el resultado.

5. Regla multiplicativa e independencia

Lanzas dos dados equilibrados de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 en ambos? El resultado de un dado no cambia las probabilidades del otro. Por eso multiplicamos: (1/6)·(1/6) = 1/36.

No es 1/6: hay 36 pares ordenados igualmente probables y solo uno es (6, 6). Tampoco se suman las probabilidades, porque necesitas que se cumplan ambos resultados en una misma realización del experimento.

6. Extracciones sin reposición

Una bolsa contiene 4 fichas blancas y 2 negras. Se sacan dos fichas sin devolver la primera. Calcula la probabilidad de que ambas sean blancas. La primera probabilidad es 4/6. Si sale blanca, quedan 3 blancas entre 5 fichas.

Entonces la respuesta es (4/6)·(3/5) = 2/5. Usar 4/6 en la segunda extracción ignoraría que la primera ficha ya salió. Para organizar todas las secuencias, utiliza nuestra guía de diagramas de árbol.

7. «Al menos una» mediante complemento

Lanzas tres veces una moneda equilibrada con lanzamientos independientes. La probabilidad de obtener al menos una cara es 1 menos la de obtener solo sellos. Esta última vale (1/2)³ = 1/8.

Por tanto, la probabilidad pedida es 1 − 1/8 = 7/8. «Al menos una» incluye una, dos o tres caras; no equivale a «exactamente una», cuya probabilidad sería 3/8.

Practica sin mirar las soluciones

1. En un dado equilibrado, calcula P(número impar).
2. Entre tarjetas del 1 al 12, calcula P(no ser múltiplo de 4).
3. Con dos monedas equilibradas e independientes, calcula P(exactamente una cara).

Checklist de corrección

Una probabilidad debe estar entre 0 y 1. Revisa que tu evento coincida con las palabras del enunciado, que no hayas contado casos dos veces y que las condiciones de independencia o reposición estén justificadas. Una respuesta correcta con una regla mal aplicada puede fallar en el próximo problema.

Para organizar tu preparación, consulta el temario de Matemática M1 y la guía de ensayos DEMRE de M1 y M2.

Referencia oficial y material de práctica

La selección de contenidos se vincula con el temario oficial de Matemática M1 del DEMRE para la Admisión 2027. La presencia de un contenido en el temario no asegura que aparezca en una aplicación concreta. Los ejemplos y ejercicios de esta guía son originales de práctica y no constituyen preguntas oficiales del DEMRE.