Inecuaciones de primer grado: ejercicios resueltos

Qué es una inecuación de primer grado

Una inecuación compara dos expresiones mediante <, >, ≤ o ≥. Resolverla consiste en encontrar todos los valores de la incógnita que hacen verdadera la comparación. Una ecuación como x + 2 = 5 pide una igualdad; la inecuación x + 2 < 5 admite todos los valores menores que 3.

En las inecuaciones de primer grado que trabajaremos, la incógnita aparece con exponente 1. La solución suele ser un intervalo o una semirrecta, no un único número. Escribir solo el valor de la frontera deja incompleta la respuesta.

Reglas para despejar

• Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados conserva el sentido de la desigualdad.
• Multiplicar o dividir por un número positivo conserva el sentido.
• Multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido.
• No se puede dividir por cero.

La inversión del signo se entiende con un ejemplo: 2 < 5, pero al multiplicar ambos números por −1 obtenemos −2 > −5. No es un detalle de notación: la posición relativa en la recta numérica cambia.

Ejercicios de inecuaciones resueltos

1. Coeficiente positivo

Resuelve 3x + 2 ≤ 14. Resta 2 a ambos lados: 3x ≤ 12. Divide por 3, que es positivo: x ≤ 4. El 4 está incluido. Puedes comprobar la frontera: 3·4 + 2 = 14.

2. Coeficiente negativo

Resuelve −2x + 5 > 11. Resta 5: −2x > 6. Divide por −2 y cambia > por <: x < −3. Para revisar, x = −4 produce 13 > 11, mientras que x = 0 produce 5 > 11, que es falso.

3. Paréntesis en ambos lados

Resuelve 2(x − 3) ≤ x + 5. Distribuye: 2x − 6 ≤ x + 5. Resta x y suma 6: x ≤ 11. La distribución debe afectar a los dos términos del paréntesis, no únicamente a x.

4. Una desigualdad doble

Resuelve −1 < 2x + 3 ≤ 9. Resta 3 en los tres miembros: −4 < 2x ≤ 6. Divide todo por 2: −2 < x ≤ 3. Deben cumplirse simultáneamente ambas restricciones.

Cómo representar el conjunto solución

Los corchetes incluyen el extremo y los paréntesis lo excluyen. El infinito nunca se incluye como un número del intervalo, por lo que siempre lleva paréntesis.

Problema con presupuesto

Una actividad cobra $1.200 de entrada más $800 por juego. Tienes un presupuesto máximo de $5.200. Si n representa el número de juegos, plantea 1.200 + 800n ≤ 5.200.

Resta 1.200 y divide por 800: n ≤ 5. Como n cuenta juegos, debe ser un entero no negativo. Puedes jugar como máximo 5 veces. Aquí no basta con obtener un intervalo real: debes interpretar la restricción del contexto.

Casos sin solución o con todas las soluciones

Si al simplificar desaparece x, revisa la afirmación final. Por ejemplo, x + 1 < x − 2 equivale a 1 < −2, que es falso: no tiene solución. En cambio, x + 1 ≤ x + 3 termina en 1 ≤ 3, verdadera para cualquier x real.

Practica y verifica

1. 4x − 1 > 7.
2. −3x ≤ 12.
3. 5 − x ≥ 2.
4. 2x + 6 < 2x + 1.

En cada ejercicio, comprueba un valor que pertenezca a la solución y otro que quede fuera. También revisa si la frontera está incluida. Estas tres comprobaciones detectan muchos errores de signo e interpretación.

Continúa practicando

Relaciona este contenido con nuestra guía de Sistemas de ecuaciones 2x2: ejercicios resueltos paso a paso y revisa cómo cambian las tareas y los procedimientos.

Para organizar tu preparación, consulta el temario de Matemática M1 y la guía de ensayos DEMRE de M1 y M2.

Referencia oficial y material de práctica

La selección de contenidos se vincula con el temario oficial de Matemática M1 del DEMRE para la Admisión 2027. La presencia de un contenido en el temario no asegura que aparezca en una aplicación concreta. Los ejemplos y ejercicios de esta guía son originales de práctica y no constituyen preguntas oficiales del DEMRE.