Sistemas de ecuaciones 2x2: ejercicios resueltos paso a paso

Qué es un sistema de ecuaciones 2x2

Un sistema 2x2 contiene dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolverlo significa encontrar los pares de valores que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. Una respuesta que funciona en una ecuación y falla en la otra no es solución del sistema.

Trabajaremos con ecuaciones lineales y los métodos de sustitución, igualación y reducción. Puedes escoger el que simplifique más el cálculo. El método cambia el procedimiento, pero debe conducir al mismo conjunto de soluciones.

Sustitución: despejar y reemplazar

Resuelve el sistema x + y = 9 y x − y = 3. La primera ecuación permite despejar y = 9 − x. Sustituye esta expresión en la segunda: x − (9 − x) = 3.

Distribuye el signo negativo: x − 9 + x = 3. Entonces 2x = 12 y x = 6. Regresa a y = 9 − x para obtener y = 3. Verifica: 6 + 3 = 9 y 6 − 3 = 3.

La sustitución es conveniente cuando una incógnita tiene coeficiente 1 o −1, porque despejarla suele evitar fracciones. Mantén los paréntesis al reemplazar una expresión de varios términos.

Igualación: comparar dos expresiones

Resuelve 2x + y = 11 y x − y = 1. Despeja y en ambas: y = 11 − 2x y y = x − 1. Como ambas representan el mismo valor, iguala 11 − 2x = x − 1.

Suma 2x y suma 1: 12 = 3x. Así, x = 4. Al reemplazar en y = x − 1, obtienes y = 3. La verificación en la primera ecuación da 2·4 + 3 = 11.

Este método resulta útil si ambas ecuaciones permiten despejar fácilmente la misma incógnita. No iguales expresiones correspondientes a incógnitas diferentes.

Reducción: eliminar una incógnita

Resuelve 2x + 3y = 18 y 3x − 3y = 12. Al sumar las ecuaciones, 3y y −3y se cancelan. Queda 5x = 30, de modo que x = 6.

Sustituye en la primera: 12 + 3y = 18. Entonces 3y = 6 y y = 2. En la segunda ecuación: 18 − 6 = 12. Ambas comprobaciones coinciden.

Cuando los coeficientes todavía no se cancelan

En x + 2y = 8 y 3x + y = 9, multiplica toda la segunda ecuación por −2: −6x − 2y = −18. Al sumar con la primera obtienes −5x = −10 y x = 2. Luego 2 + 2y = 8 da y = 3.

La multiplicación afecta a todos los términos y al segundo miembro. Multiplicar solo el coeficiente que quieres eliminar cambia la ecuación y rompe la equivalencia del sistema.

Problema contextualizado: entradas de una actividad

Una actividad vendió 10 entradas: entradas generales a $4.000 y entradas de estudiante a $2.500. La recaudación total fue $32.500. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

Define g como entradas generales y e como entradas de estudiante. El número de entradas da g + e = 10. El dinero da 4.000g + 2.500e = 32.500. De la primera, e = 10 − g.

Sustituye: 4.000g + 2.500(10 − g) = 32.500. Simplifica 1.500g + 25.000 = 32.500. Por tanto, g = 5 y e = 5. Comprueba la recaudación: 20.000 + 12.500 = 32.500. Los valores son enteros no negativos, como exige el contexto.

¿Siempre existe una única solución?

No. El sistema x + y = 4 y 2x + 2y = 8 tiene infinitas soluciones, porque la segunda ecuación repite la primera multiplicada por 2. Ambas representan la misma recta.

En cambio, x + y = 4 y 2x + 2y = 10 no tiene solución. Multiplicar la primera por 2 exigiría 2x + 2y = 8, incompatible con 10. Las rectas son paralelas distintas. Una única solución corresponde a dos rectas que se cruzan en un punto.

Ejercicios para practicar

1. x + y = 7; x − y = 1.
2. 2x + y = 10; x + y = 6.
3. x − 2y = 0; 3x + y = 14.

Al corregir, revisa planteamiento, operaciones y significado de las incógnitas por separado. En un problema de entradas, responder solo «5» sin decir a qué tipo corresponde deja incompleta la interpretación.

Continúa practicando

Relaciona este contenido con nuestra guía de Inecuaciones de primer grado: ejercicios resueltos y revisa cómo cambian las tareas y los procedimientos.

Para organizar tu preparación, consulta el temario de Matemática M1 y la guía de ensayos DEMRE de M1 y M2.

Referencia oficial y material de práctica

La selección de contenidos se vincula con el temario oficial de Matemática M1 del DEMRE para la Admisión 2027. La presencia de un contenido en el temario no asegura que aparezca en una aplicación concreta. Los ejemplos y ejercicios de esta guía son originales de práctica y no constituyen preguntas oficiales del DEMRE.