Transformaciones isométricas: traslación, rotación y reflexión

Qué son las transformaciones isométricas

Una transformación isométrica conserva las distancias entre puntos. Al aplicarla a una figura, se mantiene su forma y tamaño: sus lados, ángulos, perímetro y área no cambian. Lo que puede cambiar es su posición y, en una reflexión, su orientación.

Las transformaciones que trabajaremos son traslación, rotación y reflexión. Para resolver ejercicios en el plano cartesiano, identifica primero la transformación y los datos que la definen. «Mover una figura» no basta para determinar dónde quedará.

Traslación: desplazar todos los puntos por igual

Una traslación queda definida por un vector (a, b). Cada punto (x, y) pasa a (x + a, y + b). La primera componente indica el desplazamiento horizontal y la segunda, el vertical. Un signo negativo señala movimiento hacia la izquierda o hacia abajo, respectivamente.

Ejemplo resuelto

Traslada P = (−2, 3) mediante el vector (4, −1). Suma componente a componente: P′ = (−2 + 4, 3 − 1) = (2, 2). No intercambies las componentes: sumar −1 a x y 4 a y produciría otra traslación.

Para una figura completa, aplica el mismo vector a todos sus vértices. Si A = (0, 0), B = (2, 0) y C = (0, 1), la traslación (3, 2) produce A′ = (3, 2), B′ = (5, 2) y C′ = (3, 3). El segmento AB sigue midiendo 2 unidades.

Rotación: girar alrededor de un centro

Una rotación necesita un centro, un ángulo y un sentido de giro. Las reglas de la siguiente tabla corresponden exclusivamente al centro (0, 0). El sentido antihorario es contrario al movimiento habitual de las manecillas de un reloj.

Ejemplo resuelto

Rota Q = (2, 1) en 90° antihorarios alrededor del origen. La regla (x, y) → (−y, x) da Q′ = (−1, 2). Su distancia al centro se conserva: antes y después, el cuadrado de esa distancia vale 2² + 1² = 5.

¿Qué ocurre si el centro no es el origen?

Resta las coordenadas del centro, gira el punto relativo y vuelve a sumar el centro. Por ejemplo, P = (3, 1) alrededor de C = (1, 1), en 90° antihorarios: el vector relativo es (2, 0), gira a (0, 2) y la imagen final es (1, 3).

Reflexión: obtener una imagen especular

Una reflexión se define por un eje. El punto y su imagen quedan a igual distancia de ese eje, sobre una perpendicular a él. Los puntos del eje permanecen fijos. La figura conserva su tamaño, pero cambia su orientación.

Refleja R = (3, −2) respecto del eje x. Conserva x y cambia el signo de y: R′ = (3, 2). Si el eje fuera el eje y, el resultado sería (−3, −2). Nombrar el eje evita confundir dos imágenes diferentes.

Transformaciones sucesivas

El orden puede cambiar el resultado. Parte de (1, 0): trasladar por (2, 0) y luego rotar 90° antihorarios alrededor del origen produce (0, 3). Si primero rotas y después trasladas, obtienes (2, 1). Aplica cada transformación al resultado de la anterior.

Ejercicios para practicar

1. Traslada (−1, 4) por el vector (3, −2).
2. Rota (−2, 5) en 180° alrededor del origen.
3. Refleja (4, −3) respecto del eje y.
4. Refleja (2, 7) respecto de y = x.

Cómo comprobar una respuesta

Dibuja los ejes, marca el punto original y revisa si la imagen coincide con el movimiento descrito. En una traslación, compara los vectores de desplazamiento de dos vértices. En una rotación, comprueba la distancia al centro. En una reflexión, revisa distancia y perpendicularidad al eje.

Una ampliación con factor distinto de 1 no es una isometría porque cambia las distancias. Distinguirla de una traslación o un giro evita clasificar cualquier cambio de posición o tamaño como transformación isométrica.

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Referencia oficial y material de práctica

La selección de contenidos se vincula con el temario oficial de Matemática M1 del DEMRE para la Admisión 2027. La presencia de un contenido en el temario no asegura que aparezca en una aplicación concreta. Los ejemplos y ejercicios de esta guía son originales de práctica y no constituyen preguntas oficiales del DEMRE.