Tríos pitagóricos: ejemplos y ejercicios con Pitágoras

Qué es un trío pitagórico

Un trío pitagórico es un conjunto de tres enteros positivos a, b y c que cumplen a² + b² = c². Estos números pueden representar los lados de un triángulo rectángulo: a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

La hipotenusa está frente al ángulo recto y es el lado más largo. Para verificar un posible trío, primero identifica el número mayor y úsalo como c. No basta con que tres números aparezcan frecuentemente en problemas de geometría.

Ejemplos de tríos pitagóricos

El trío 3-4-5 es útil porque sus múltiplos también funcionan. Multiplicarlo por 2 da 6-8-10 y por 3 da 9-12-15. Al multiplicar los tres lados por el mismo factor positivo, ambos miembros de la igualdad se multiplican por el cuadrado de ese factor.

Cómo verificar un trío paso a paso

1. Ordena los tres números y elige el mayor como posible hipotenusa.
2. Calcula el cuadrado de cada número.
3. Suma los cuadrados de los dos menores.
4. Compara esa suma con el cuadrado del mayor.

Para 6, 8 y 10: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Sí es un trío pitagórico. Para 4, 5 y 6: 16 + 25 = 41, que no coincide con 36. No es un trío pitagórico y esos lados no forman un triángulo rectángulo.

Ejercicios resueltos con Pitágoras

1. Encontrar la hipotenusa

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 y 12 centímetros. Reconoce que son 3·3 y 4·3: la hipotenusa es 5·3 = 15 centímetros. Puedes comprobarlo: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².

2. Encontrar un cateto

La hipotenusa mide 13 metros y un cateto mide 5 metros. Si b es el otro cateto, b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Como una longitud es positiva, b = 12 metros. Aquí se resta porque la incógnita es un cateto, no la hipotenusa.

3. Escalera contra una pared

Una escalera de 10 metros llega a 8 metros de altura sobre una pared perpendicular al suelo. La escalera representa la hipotenusa. La distancia horizontal d cumple d² + 8² = 10². Entonces d² = 36 y d = 6 metros.

El modelo exige el ángulo recto entre pared y suelo. Sin esa condición, no puedes aplicar directamente Pitágoras. Dibuja el triángulo y escribe qué segmento representa cada medida antes de calcular.

4. Diagonal de un rectángulo

Un rectángulo tiene lados de 8 y 15 centímetros. Su diagonal divide la figura en dos triángulos rectángulos. Por el trío 8-15-17, la diagonal mide 17 centímetros. No confundas la diagonal con el perímetro, que sería 2·8 + 2·15 = 46 centímetros.

¿Todos los triángulos rectángulos tienen lados enteros?

No. Un triángulo rectángulo con catetos 1 y 1 tiene hipotenusa √2. Cumple el teorema de Pitágoras, pero sus medidas no constituyen un trío de enteros positivos. Reconocer tríos es un atajo útil, no un reemplazo del teorema.

También existen figuras semejantes al triángulo 3-4-5 con medidas no enteras, como 1,5; 2 y 2,5. Se conserva la proporción y la relación de Pitágoras, aunque esas tres medidas no formen un trío pitagórico en el sentido entero de la definición.

Práctica con respuestas

1. ¿Los números 10, 24 y 26 forman un trío pitagórico?
2. Un triángulo rectángulo tiene catetos 15 y 20. ¿Cuánto mide su hipotenusa?
3. Una hipotenusa mide 17 y un cateto mide 8. Calcula el otro cateto.
4. ¿Puedes usar Pitágoras solo porque el dibujo parece rectángulo?

Errores frecuentes

Comprueba que la hipotenusa sea el lado mayor, que todas las longitudes usen la misma unidad y que hayas tomado la raíz al final. Si obtienes c² = 225, la longitud es 15, no 225. Para áreas, en cambio, las unidades son cuadradas y requieren una interpretación diferente.

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Referencia oficial y material de práctica

La selección de contenidos se vincula con el temario oficial de Matemática M1 del DEMRE para la Admisión 2027. La presencia de un contenido en el temario no asegura que aparezca en una aplicación concreta. Los ejemplos y ejercicios de esta guía son originales de práctica y no constituyen preguntas oficiales del DEMRE.